研究 2003 年 SARS 流行趋势及影响的优化模型

摘要： SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合征，俗称非典型肺炎）是 21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。我国作为发展中大国深受其害，SARS 的暴发和蔓延在我国的经济发展和人民生活方面产生很大影响。在党和政府的统一领导下，全国人民与 SARS 顽强抗争，取得了可喜的阶段性胜利，并从中得到了许多极具价值的经验和教训，认识到在找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的强制性政策是对抑制 SARS 自然发展最有效的办法。而本题的目的就是要建立一个适当的模型对 SARS 传播规律进行定量的分析、研究，为预测和控制 SARS 蔓延提供可靠、足够的信息，无论对现在还是将来都有其重要的现实意义。

首先，本文对附件 1 提供的早期模型，认为采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势预测和 SARS 的防控具有指导意义。但该模型在数据拟合方面，在确定感染期限 L、借鉴各地方经验（由于广东、香港的疫情暴发和控制都在北京之前，已经过了高峰期，与北京有所不同）方面较为片面，因而，认为 K 代表某种环境下一个人传染他人的平均概率是不实际之举。

对于第二个问题，在分析传染病模型的局限性后，我们对 SARS 疫情进行分析并根据实际情况建立了控前模型、控后模型、控后优化模型，通过对北京各种数据的分析和拟合，看出我们所建模型对北京疫情的预测结果与实际情况符合得很好。另外，改变有关参数，发现提前 5 天采取严格措施，将使疫情解除的时间提前约 10 天；若延后 5 天采取措施，疫情解除的时间将推迟 11 天。根据这些预测，文中对相关部门采取控制措施提出了相关建议，并针对控后优化模型所建立的微分方程自身的缺陷提出了模型的改进方向和思路。

对于第三个问题，本文研究 SARS 对旅游经济的影响，建立了数学模型。通过数据拟合和分析的方法确定日增长病例数对旅游人数的影响，预测 2003 年 9 月—12 月份入境旅游人数分别为 240236.06，330425.85 万人。与 1997 年至 2002 年同期相比，2003 年 9 月降低了 23.5 个百分点，10 月以后影响逐步减小，经济逐渐进入恢复时期。

 

对于第四个问题，我们给报刊写了一篇通俗短文，说明了应对像 SARS 这样的传染病应该科学预测、合理分析，理智对待、减少恐慌，模拟预测、指导控制。

关键词：微分方程； 曲线拟合

 

Abstract: SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome, commonly known as atypical pneumonia) is the first infectious disease spread worldwide in twenty-first century. As a developing country, China has suffered greatly: the outbreak and spread of SARS has a great impact on China's economic development and people's life. Under the unified leadership of the party and the government, the whole nation struggled with SARS tenaciously and achieved a gratifying victory in that stage, and gained many valuable experiences and lessons from it. We realized that before the real cause and effective cure were found, the mandatory policy adopted by the government was the most effective way to curb the natural development of SARS. The purpose of this topic is to establish an appropriate model for quantitative analysis and research of SARS transmission law, and provide reliable and sufficient information for forecasting and controlling the spread of SARS, both for the present and for the future.
 

First of all, in this paper, the early models provided in Annex 1 consider that the method of data fitting and reference parameters is of guiding significance for forecasting the trend of Beijing's epidemic situation and for the prevention and control of SARS. However, in terms of data fitting, the model is more one-sided in determining the infection period L and learning from local experience (because the epidemic situation and control in Guangdong and Hong Kong are before Beijing, they have passed the peak, which is different from Beijing). Therefore, it is unrealistic to think that K represents the average probability of one person infecting others in a certain environment.
 

For the second question, after analyzing the limitations of the infectious disease model, we analyzed the SARS epidemic situation and established the pre control model, post control model and post control optimization model according to the actual situation. Through the analysis and fitting of various data in Beijing, we can see that the prediction results of our model to Beijing epidemic situation are in good agreement with the actual situation. In addition, by changing the relevant parameters, it is found that taking strict measures 5 days in advance will advance the time of the elimination of the epidemic by about 10 days; If measures are taken 5 days later, the time for the elimination of the epidemic will be delayed by 11 days. According to these predictions, this paper puts forward relevant suggestions for relevant departments to take control measures, and puts forward the improvement direction and ideas of the model according to the defects of the differential equation established by the post control optimization model.
 

For the third question, this paper studies the impact of SARS on tourism economy and establishes a mathematical model. Through data fitting and analysis, the impact of the number of daily increasing cases on the number of tourists is determined. It is predicted that the number of inbound tourists from September to December 2003 will be 2402.3606 million and 3304.2585 million respectively. Compared with the same period from 1997 to 2002, it decreased by 23.5 percentage points in September 2003. The impact gradually decreased after October, and the economy gradually entered a recovery period.

For the fourth question, we wrote a popular essay to newspapers and periodicals, which shows that we should scientifically predict and rationally analyze infectious diseases such as SARS, rationally treat and reduce panic, simulate prediction and guide control.

Key Words: Differential equation; Curve fitting

附件 1 的模型主要采用“数据拟合”和“借鉴参数”的方法对北京疫情走势进行预测。通过这一模型可以定量地研究 SARS 初发期的疾病传播规律。通过这一规律，依据参数 K、t，可以实现各地区的相关估计，预计 SARS 的发病高峰时间、发病趋势等。这些信息对 SARS 的防控具有指导意义。
 

但该模型在数据拟合方面，有两个疑点：第一，感染期限 L 的确定。由于被严格隔离、治愈、死亡等，感染者在某一时段后不再具有对易感人群的传染力，故对病毒的传染加上感染期限是合理的。但在对该参数的确定上，作者为了较好地拟合各阶段的数据，通过人为调试来确定 L 的取值，缺乏医学上的支持，使模型的说服力减弱，合理性和可靠性大大降低。第二，文中认为“K 代表某种环境下一个人传染他人的平均概率”。但从模型的公式中可以看出，参数 K 的实际意义是一个病人平均每天传染其他人的个数。两者之间有实质的区别，文中的说法显然不妥。从预测思想来看，该模型是借鉴先发地区——广东、香港的有关参数对北京的疫情进行预测的。由于广东、香港的疫情和控制都在北京之前，已经过了高峰期，随着时间的增加每日新增病例已降，基本处于后期控制阶段。而当时北京的疫情刚过了高峰期，正处于社会剧烈调整时期，数据较为凌乱，略有下降趋势，但不明显。可见在当时，采取这种借鉴是不实际之举。但是由于城市之间的政策、风俗习惯等不同，城市之间的可比性不强，借鉴存在很大的局限性。如在香港，由于对传播机制认识不足，中途又出现高度感染的特殊情况。另外使用借鉴法无法对首发城市进行预测。

在 SARS 疫情暴发的初期，因 SARS 存在潜伏期，社会对 SARS 病毒的传播路径、传播速度和危害程度认识不足，所以政府和公众并不以为意。当人们发现被 SARS 病毒感染者不断增加时，政府开始积极采取多种措施控制 SARS 病毒的进一步蔓延，所以 SARS 的传播规律可以分为三个阶段：

控制前：几乎雷同于自然传播时期的传播阶段。

过渡期：在公众开始敏锐意识到 SARS 病毒的严重性到政府积极采取有力措施前的一段时间内。

控制后：在采取各种措施加以控制之后的传播阶段。

就全国当时的情况来看，除了广东和香港特别行政区等地区外，我国的其他地区都是在 SARS 刚刚大肆传播就快速响应并采取了强有力的措施，因此，这些地区的过渡期都可以包括在控制期。而广东和香港情况虽然有所不同，但根据我们的分析和模拟，这两个地区可以用“控制前”和“控制后”来分析收集到的数据。因此，我们统一将 SARS 的传播规律用“控制前”和“控制后”两个时期来模拟。另外，社会经济、文化、风俗习惯等因素也会影响 SARS 的传播，但是，最直接的因素是潜伏期、人群的迁入迁出、感病者的数量、易感者的数量、传染率和治愈率的大小等。而且在以上因素中，潜伏期的长短、传染率和治愈率的大小因人而异，具有一定的随机性。不可能一开始就把所有的因素考虑在内建立模型。对此，我们将做出相应的假设进行简化。

（1）基本假设

1）国家卫生部（现国家卫生和计划生育委员会）提供的北京疫情统计真实可信。

2）由于非典的主要传播途径是近距离接触，通过受感染者咳嗽或打喷嚏时产生的飞沫传播，这里将所有传播途径都视为与病源的直接接触。

3）不考虑出生与自然死亡（认为出生和自然死亡基本平衡）的过程和人群的迁入迁出（认为迁入和迁出基本平衡）。

4）根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的 SARS 病人（已受感染者）不具有传染性。

5）根据资料显示，SARS 病毒的潜伏期一般为 2-7 天，平均约为 5 天。

6）据人口所处的健康状态，将人群分为：健康者，SARS 病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。

7）国家完善了监控手段，加强了对 SARS 病毒监控的力度，故可假设所有感染 SARS 病毒的人都进入了 SARS 病人类和疑似类。

8）由于对 SARS 病原体的研究不够深入，无有效药物可以使人体免疫，同时SARS 病毒感染后，大量繁殖，破坏免疫系统，故不可免疫。在后期的模型中有所改动）。

9）在病毒传播期内时间以天来计算，“S（t）”“E（t）”“I（t）”“R（t）”分别表示人群中的健康者、潜伏者、病人、退出者的比例。

（2）参数的设定

λ1——每个病人平均每天有效接触（足以使被接触者感染）的人数。

q ——退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

ε1 ——处于潜伏期的病人的日发病率。

（3）控前模型的微分方程

（4）曲线拟合

在上述微分方程组中设“S0”“I0”“Ro”“E0”  分别为“0.96”“0.02”“0.01”“0.01”，λ1=8，q=0.01ε1 =0.02
 

（5）用 Matlab 软件编程

>>function dy=ill（t，y）

>>dy=zeros（4，1）;

>>dy（1）=-8*y（2）*y（1）;

>>dy（2）=0.02*y（4）-0.01*y（2）;

>>dy（3）=0.01*y（2）;

>>dy（4）=8*y（2）*y（1）-0.02*y（4）;

>>[t，y]=ode45（'ill'，[0 50]，[0.96 0.02 0.01 0.01]）;

>>plot（t，y（:，1），'-'，t，y（:，2），'*'，t，y（:，3），'+'，t，y（:，4），'^'）

>> plot（t，y（:，1），'-'，t，y（:，2），'*'，t，y（:，3），'+'，t，y（:，4），'^'）;

>> legend S I R E
 

由图 1 可以大概地分析四类人的数目变化：潜伏者人数在前十天增长得快，在第十天左右达到最高值，然后慢慢下降；而健康者人数下降得很快，从第十天开始基本已经达到 0，死亡人数和病人数都在增加。可知如果传染病得不到有效的控制，其后果如鼠疫那样不堪设想，所以对于传染病，人们要加强认识，同时政府和有关部门也要采取一定的措施防止这种情况的发生。

（1）分析与假设

1）由于对人口的流动加以限制，我们假设此阶段无病源的输入和输出；

2）被隔离的人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性；

3）不考虑隐性非典患者，即只要感染上 SARS 病毒的患者最后都会表现出症状；

4）不考虑被隔离而实际又未被感染者，因为这部分没有自由活动，对疾病的传播基本不会造成任何影响；

5）此次我们将人群分为五类：

健康者：用 S 表示健康者在人群中的比例。

病人：用 I 表示病人在人群中的比例。

退出者（包括“治愈者”和“死亡者”）：用 R 表示其在人群中的比例。

隔离者：用G 表示其在人群中的比例。（指每天被传染的人中可控的部分，它包括家人、同事、邻居以及能够通过调查追踪的人。这些接触者将被有效隔离。）

未隔离者：用W 表示其在人群中的比例。（指无法追踪到的和与传染源有直接接触的人）对强化控制后的模型来说，病人和可控者皆被完全隔离，使病毒的进一步传播中断，所以，此时的不可控的人中带病毒者将成为社会上的流动病源。

（2）参数的设定

λ2——不可控人群在发病后被隔离前平均每天有效接触的人的数目。

q ——退出率（SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和）。

ε2 ——每天由可控人群和不可控人群转化为病人的转化率。

p——接触病源的人的发病率。

（3）控后微分方程

 

S0，I0，Ro，E0，W0   为初值

设 S0，I0，Ro，E0，W0   分别为 0.96，0.02，0.01，0.007，0.003，λ2=0.71，q=0.01，.ε2 =0.2，p=0.3。

（4）用 Matlab 画图

function dy=ill（t，y）

dy=zeros（5，1）;

dy（1）=-0.71*0.3*y（1）*y（5）;

dy（2）=0.3*0.2*（y（4）+y（5））-0.01*y（2）;

dy（3）=0.01*y（2）;

dy（4）=0.71*0.3*y（5）*y（1）*（y（4）/（y（5）+y（4）））-0.3*y（4）*0.2;

dy（5）=0.71*0.3*y（5）*y（1）*（y（5）/（y（5）+y（4）））-0.3*y（5）*0.2;

[t，y]=ode45（'ill'，[0 50]，[0.96 0.02 0.01 0.007 0.003]）;

plot（t，y（:，1），'-'，t，y（:，2），'-'，t，y（:，3），'-'，t，y（:，4），'-'，

t，y（:，5），'-'）;

>> legend S I R G W

 

从上图可以大概地分析五类人的数目变化，可以看出自从采取一定的措施后疫情得到了有效控制，因此健康人数变化得相对缓慢。但是，经过对模型和数据进行进一步分析，我们发现这个模型存在以下问题：

1）该模型中，没有充分考虑疑似病例，即“疑似者”和“隔离者”之间的关系不明确。

2）从收集到的数据中我们无法得到有关隔离者和未被隔离者的信息，因此无法对其做出分析。

从以上两点出发，我们对模型进行了改进，我们仍将人群分为五类，但对这五类人的界定做了改动：我们将“隔离者”和“未被隔离者”改为“疑似者”和“自由带菌者”，用“X”和“Y”分别代表这两者在人群中所占的比例。以下是对“疑似者”和“自由带菌者”的说明：

疑似者：所有未确诊的非健康者。包括已出现有关症状但未确诊的被隔离者和还未出现症状但已疑为带菌者而被隔离观察的。在此我们假设这一阶段中的所有的病人都是被前几阶段的病人传染而来的。

自由带菌者：不可控的病毒携带者。

综合上面的未考虑因素和部分不确定因素，我们提出以下改进模型：

（1）参数说明

x  ——疑似者中每日被排除的人数占疑似人数的比率。

y  ——疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比率。

ε3 ——每个自由带菌者转化为病人的日转化率。

λ3——每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数。

α——  被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率。

（2）方程的建立

S0，I0，Ro，X0，Y0   为初值

与前一个模型相比，此优化模型的优点在于：

1）明确了疑似者所指的范围；

2）基本可从数据中分析出所需的参数和变量初值；

3）将λ3定义为“有效接触人数”既有利于数据的分析也可减少未知参数的数量。

（3）参数的确定

鉴于每个地区的情况（医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等）不同，所以对于模型中各参数不能用全国总的情况来分析，而应该对各个城市分别对待。由于北京在强化控制阶段采取的措施相当严格，而且找到的数据也比较齐全，故我们以“北京”为例来说明参数的分析方法。

以北京为例：

从q 的原始数据中我们可以看出，q 的值也存在阶段性。5 月 16 日以前，q的值在 1% 左右摆动，不存在较大的波动；而 5 月 16 日以后，q的值基本都在 1%以下。由于q 的定义中包括了“治愈率”与“死亡率”两部分，在过渡期，由于发病人数较多，治愈率相对较低；当进入平稳期后，发病人数减少，治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡期和平稳期的假设是吻合的。

 

ε3 ——从数据可推算出其值在 12%-30% 之间，我们在这里令ε3 =20%。

α ——与城市的人口密度、生活习惯等因素有关，由于在强化控制阶段对人员的流动控制得相当严格，还采取了比如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施，故我们可估计 α =70%-90%。

（4）模型的求解

很明显从我们建立的模型是无法得到 S，I，R，X，Y 的解析解的。为了解决这个问题，我们求助于 Matlab 中的龙格-库塔法来求出它们的数值解。我们先通过采集到的实际数据算出每一天的 S，I，R，X，Y，做出它们与时间的函数图像，然后画出我们通过模型解出的数值解随时间变化的图像。对比这两组图，可以发现实际和理论存在着一定的差异。这必然是我们的参数估计不合理造成的。所以，我们必须通过不断调整那些非计算得到的参数（λ3，ε3，α ）来使实际图像和理论图像趋于一致。经过多次调试，我们发现，实际图像和理论图像有最好的符合。而这三个值均在我们估计的范围内，所以我们认为“x  =0.0351”“y  =0.015”“ε3=0.2”“λ3=0.71”这四个值是合理的。

在方程组中设“S0”“I0”“Ro”“X0”“Y0   ”分别为“0.96”“0.02”“0.01”“0.007”“0.003”，用 Matlab 画图，如下图。

 

 

T=1 S=0.960000000000000

T=2 S=0.959739335934511

T=3 S=0.959494275853038

T=4 S=0.959264025869564

T=5 S=0.959047830076264

T=56 S=0.961653354521393

T=57 S=0.961695503941797

T=58 S=0.961734602001437

T=59 S=0.961750423567728

T=60 S=0.961765745460227

 

T=1 Y=0.0200000000000000

T=2 Y=0.0200150039335033

T=3 Y=0.0200301367507130

T=4 Y=0.0200453926066187

T=5 Y=0.0200607659143473

T=56 Y=0.0260587744045853

T=57 Y=0.0261935809770901

T=58 Y=0.0262506083928382

T=59 Y=0.0263073141752425

T=60 Y=0.0263636990367103
 

改变有关参数，发现提前 5 天采取严格措施，将使疫情解除的时间提前约 10天，若延后 5 天采取措施，疫情将推迟 11 天。为此，我们对北京市政府提供一些建议：

从北京的地理位置和特定的社会环境（全国政治、经济、文化、交通的中心）来看，北京要想有效控制疫情的传播，应该注意以下几点：

1）首先，必须强化对流动人口的管理，即认真抓好流入人口是否患有非典或携带有非典病毒的检查和确认。这样的话，北京才可能在不受输入病人侵袭的前提下，打好抵御非典的攻坚战。

2）其次，要强化对公共场合（如公交、商场、餐厅、娱乐场所等）的管理，要采取“责任到部门、责任到单位、责任到个人”的管理方式，明确责任，规范管理，做到环环相扣，一丝不漏。

3）最后，还要注意那些人口流动比较大的场合（如汽车站、火车站、飞机场、宾馆等）的管理，要强化这些场所的卫生宣传，增加防护工具以及消毒工具、药品的使用，以减少病毒大肆蔓延的可能性。

 

 

 

▲图 8 控后优化模型dI / dt曲线
 

首先从已知数据看一下北京地区各类人比率图（如图 9 所示）。

 

 

上图横轴的日期从 4 月 29 日算起，有图显而易见，北京的发病人数在 4 月29 日到 5 月 15 日这段时间内有最大的增长率，即这段时间是北京非典疫情的“高潮期”；后由于政府措施得力，公众健康意识增强，非典病情从 5 月 16 日之后开始趋于缓和，新增的已确诊病例数明显下降，到 5 月 20 日左右一下降为 0，治愈出院数持续增长，死亡人数控制在一定的范围内，所以，北京地区政府采取的隔离措施是较为得力和及时的，在疫情完全扩散之前就阻断了大部分病源与健康人群的接触，使传染链受阻，有效地阻止了疫情的进一步发展。在政府正式采取措施后，可以看出此时的治愈率 0.025 是比较高的，与其他疫区相比北京的治愈率也是相对较高的，这说明北京的卫生部门对非典的预防措施比较及时地控制了病人与医护人员以及其他易感染人群的交叉感染，从而基本断绝了病毒传播的一个主要途径；同时其治疗措施相对较为完善，稳定了疫情。

 

 

从以上我们所建模型对北京疫情的数据拟合可见我们所建模型具有一定的合理性和实用性。

■ 模型优点：

● 模型根据现有的数据资料设置变量，各变量之间关系明确，且各个参数可比较方便地得到。

● 模型重点是分析规律和进行预测。因为已知数据受很多随机因素的影响，规律性受到干扰，所以其变化情况不能较好地表达总体的规律性，进而不能对疫情进行较准确的预测；针对这个问题，我们对已知数据进行了统计平均，从总体的平均规律入手，没有局限于仅对现有数据的模拟。但是也要根据现有的数据对模型进行检验。从前面求解方程得到的图形结果来看，模拟的曲线确实较好地代表了现有数据的总体变化规律。

● 控后模型具有较好的代表性，表现在以下两个方面：

（1）欲对某疫区进行预测，只需对几个参数进行求解，代入方程组并给出初值即可；

（2）对于控后的过渡期和稳定期两个阶段，只改变其中的三个参数和初值，即可得到较好的模拟和合理的预测。

■ 模型缺陷与改进：

● 控前模型忽略了交通工具上的传播，实际上从北京、太原以及全国其他地区的 SARS 疫情来看，交通中的传播有一定的影响。

改进思路：分析交通工具内的传播，除了容积、通风等外，还应考虑旅程时间的长短。同样条件下，距离越远 SARS 传播的概率越大。根据民工流动与SARS 扩散趋势，可得：以北京为输入地的民工流动主要态势是沿“京港线”“京包线”“石太线”分布，而以广东为输入地的民工流动主要态势是沿“京港线”分布。因此可根据上述民工流动情况和交通路线的长短考虑交通过程对各地控前模型加以改进。

● 控后模型中各参数对现有数据进行了概率平均，这在医疗水平和防控力度不变的假设下能较好地代表 SARS 的传播和控制规律，但实际情况必会随时间推移有较大的变化，针对此问题提出两点缺陷和改进方法：退出率 q 的物理意义或获取方式有一定的误差。为了使方程为常微分方程且使之适合用龙格-库塔法求其数值解，定义 q 为每天退出者占当天累计病人的比率。但是随着病人数的减少 q 势必有特定的变化趋势，我们取其概率平均在较短时间内能较好地符合规律，但预测时间较长时就不能简单地取概率平均值了，这就是我们预测最终控制期很长的最主要原因。作为改进方法，可以对根据已知数据求出的 q（t）进行最大概率曲线拟合，得到关于 q 的函数，将此已知函数代入常微分方程组进行求解，则可能对提高预测结果的准确性有较大的帮助。最简单的 q（t）为 t 的一次函数。对于医学突破引起的参数变化，可对模型参数进行适当的修正，便可得到符合规律的预测。

3  SARS 对旅游经济的影响
 

从附件 3 北京接待游客的数据可以看出，SARS 作为一种传染病对旅游行业造成了严重的影响，影响最大的是 2003 年 5 月，海外旅游人数下降到了 1.78 万人，比 2002 年减少了 27.22 万人，占 99.34%。SARS 过后海外旅游人数有了较快的回升。从 1997 年—2002 年各月旅游人数可以看出，旅游行业保持着良好势头，中国旅游业的发展是有目共睹的。如果没有 SARS，2003 年旅游业仍然会保持持续增长。SARS 只是一个突发事件，不会对旅游业造成长期的影响，它有一个恢复的过程。因此 2003 年 SARS 对旅游的影响因素有两种：  第一种是旅游业发展的内在本质因素，具有根本性、长期性。第二种是突发事件，是偶然因素，具有暂时性；从作用效果看，其具有突出重要性。分别分析两种因素对 2003 年旅游业的作用，两种因素的效果是独立影响的，最后把两种效果叠加起来。

从 1997 年—2002 年的数据可以看出，各月人数的分布有明显的规律性，见图 12。

规律一：历年各月都在不断增长，从 1999 年到 2002 年 4 年的平均增幅为27.2 万人。增长过程见图 13。我们做了 2003 年每月与前几年该月的相关性检验，发现各月与前两年的该月份显著相关。

规律二：每年中各月的大小关系基本不变，表现为图 12 中的上升、下降，且各月的增幅比例大致相同。我们也做了 12 个月中每个月与相邻几个月的相关性检验，发现有一定相关性。下面从数据的特点预测没有 SARS 影响的各月旅游人数。  

从图 13 中可见，2001 年到 2002 年（4 点到 5 点）的增长轨迹与“1998 年—1999 年—2000 年”（1—2—3 点）的增长轨迹很相似。从 1998 年开始经过两年快速增长期后，进入一个低速增长期，两个时期的总长约为 3 年；2001 年开始的快速增长，很可能又要进入下一个快速增长期，可推测 2003 年在 2002 年的基础上会增长 40 万人。这 40 万总增量分配到 12 个月中，分配比例按表 1 中的统计比例。得到 2003 年各月的预计值并加入图 12 中比较。

 

 

用 2003 年的预测值减去 2003 年 8 月以前的实际值，可看出 SARS 减少的旅游人数，见图 14。其中对 2003 年 2 月做了处理，2 月时北京没有 SARS，而且1 月、3 月的人数相比起 2002 年同期都有所增加，符合增长规律。因此 2 月份旅游人数的降低，是由其他突发因素引起。用 2002 年 2 月的数据替换。

考虑到 SARS 的蔓延是每天变化的，把每月的旅游人数离散到每天。把每月人数做平均，做三次样条插值，得到光滑的曲线，曲线上的点反映每天访问人数。

差值曲线反映了 SARS 每天减少的访问人数。

我们发现每天减少的访问人数有个峰值，这个峰值出现在 5 月、6 月之间，到8 月时已经过。说明 SARS 对 5 月、6 月影响最大，到 8 月已逐渐减弱。关于 SARS的指标有多个，如果有个指标能反映对旅游者心理的影响，那么 SARS 对旅游业影响减弱时这个指标也下降。经过对众多指标（死亡率、死亡人数、治愈人数、治愈率，疑似患者数，累计患者数）的筛选，选出能较好地反映对旅游人数的影响的指标——每日现有患者数，并和旅游人数变化曲线画在一起观察，如图 15。
 

 

分别选取两条曲线中的两个序列做相关分析，得到每日现有患者数对旅游人数的影响有个时延，这个值为 8 天，也正反映了两条曲线的峰值相差 10 天左右。到 2003 年 6 月 23 日，还有 53 个患者，2 个疑似患者，可以确信 SARS 即将消失，因为已经没有疑似患者。如果一段时期内多个危险指标没有增长，那么 SARS 对旅游的影响也即将过去。患者数和日访问人数都一直保持恒定的下降速度。可从数据得出日访问人数以“0.00976159133019”的斜率降低，10 月 25 日以后 SARS已没有影响了。

累加 SARS 影响下的每天访问人数的减少量，得出 9 月比预计值减少 11.5944 万，10 月比预计值减少 2.95 万。最后我们综合两种因素后得到预测值，见表 2、图 16。

 

▲图 16 预测值数据
 

以上只分析了旅游业的内在增长因素和 SARS 的打击作用。在 SARS 时期没有旅游的人，可能累积到 SARS 以后旅游，这会使实际旅游人数比预测值大。可见以上只是保守的预测，不过都是很乐观的预测。

4  短文
 

传染病长期以来一直威胁着人类生命和健康，同时也给人们的生产生活水平带来了极大的负面影响，所以，建立有关传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来具有前瞻意义。目前很多学者对 SARS 的传播进行了大量的研究。大部分研究采用常微分方程方法进行分析，以个体相互作用的方式研究病毒的传播。最近中国科学院研究生院借鉴流体力学中宏观偏微分方程与微观分子动力学方法相结合的方法，首次建立了传染病传播概率模型。这些模型的出现为疫情的评估和控制提供了科学数据，其重要性可从这次 SARS 事件中窥见一斑。

在疫情忽然暴发引起公众普遍关注后，人们最关心的问题有：“SARS 疫情将如何发展？何时才能得到有效控制？有没有办法对它进行科学预测？”以上问题均可以通过建立数学模型来解决。作为中国的首都，同时又是重灾区的北京，正是众人关注的焦点。之前已有模型预测“北京在实施严格的隔离政策之后，4 月底高峰期过后将呈现下降趋势，直至 7 月将实现零增长，届时累计患者数将达2800 多人。”事实证明这一预测虽不全中亦不远矣。

在疫情暴发初期，未知病毒的神秘性容易对人造成心理干扰，导致大片人群的恐慌。但根据传染病模型，我们知道当一段传染期内，每个病人有效接触的易感者平均人数小于一个人时，病人的比例将逐渐变小，最终实现零增长。也就是说一旦采用严格控制隔离的方法有效地切断了病源和易感人群的联系，将病人的有效接触人数减少到一个以下，必然可以达到有效控制或消除疾病的目的。

一些模型对政府控制的力度和时机做了相应的模拟，为各地区 SARS 疫情发展前景预测及政府控制疫情政策的制定给出了科学依据，并提出了一些实用的建议。如及早采取果断控制措施；即使防范措施晚了一些，出现了高峰，但只要控制严格，降低感染率（即严格进行人群隔离，切断传染途径），前景还是乐观的，因为疫期长度与感染人数峰值并不呈正比例关系等。
 

目前对 SARS 传播的研究主要是以个体相互作用的情况而言，其计算结果的准确性、可靠性将受到限制。随着对 SARS 的传染病学机理和传播机制越来越了解，可考虑疫情的空间分布和时间发生的概率，结合计算机进行大量模拟，得出更为全面和准确的模型。进一步的工作和更准确结果的得出，将有待于专家学者们进行深入研究